Позициони запис
У позиционом запису бројева допринос цифре укупној вредности броја не зависи само од вредности цифре, већ и од њене позиције у запису. Запис \(c_{n}c_{n-1}...c_{0}\) у позиционом систему са основом \(b\) (то некад обележавамо са \((c_{n}c_{n-1}...c_{0})_b\)) одговара броју
\[c_n\cdot b^n + c_{n-1} \cdot b^{n-1} + \ldots + c_1 \cdot b + c_0,\]
при чему за сваку цифру \(c_i\) важи \(0\leq c_i<b\).
На пример број \(1234\) у основи \(10\) једнак је \(1\cdot 10^3 + 2\cdot 10^2 + 3\cdot 10 + 4\).
Најчешће коришћени бројевни систем јесте декадни систем, односно систем са основом 10. Број \(x\) се у декадном систему може представити у облику \(x = c_n\cdot 10^n + c_{n-1} \cdot 10^{n-1} + \ldots + c_1 \cdot 10 + c_0\), где је \(c_0\) цифра јединица, \(c_1\) цифра десетица, \(c_2\) цифра стотина итд. и за сваку од њих важи \(0\le c_i \le 9\).
За запис времена и углова користи се позициони запис у основи 60 (сат тј. угао има 60 минута, док један минут има 60 секунди).
Вредност броја се може одредити и помоћу Хорнерове шеме
\[(\ldots ((c_n \cdot b + c_{n-1})\cdot b + c_{n-2})\cdot b + \ldots + c_1)\cdot b + c_0.\]
На пример број \(1234\) у основи \(10\) једнак је \(((1\cdot 10 + 2)\cdot 10 + 3)\cdot 10 + 4\).
Последња цифра у декадном запису броја може се одредити операцијом израчунавања остатка при дељењу са 10. На пример, последња цифра броја \(1234\) је \(4\), што је управо остатак при дељењу тог броја са 10. Слично, последња цифра записа броја у основи \(b\) може се одредити операцијом израчунавања остатка при дељењу броја са \(b\). Докажимо ово и формално. Број \(x\), чије су цифре редом \(c_nc_{n-1}\ldots c_1c_0\), представља се у облику \(x = c_n\cdot b^n + c_{n-1}b^{n-1} + \ldots + c_1 \cdot b + c_0\). Пошто су сви сабирци осим последњег дељиви са b, тј. број се може написати у облику \(x = (c_n\cdot b^{n-1} + c_{n-1} \cdot b^{n-2} + \ldots + c_1)\cdot b + c_0\) и пошто је \(0 \leq c_0 < b\), на основу дефиниције целобројног количника и остатка важи да је \(x\,\mathrm{mod}\,b\) једнако \(c_0\).
Општије, цифру \(c_k\) уз коефицијент \(b^k\) у запису броја \(x\) можемо одредити као
\[(x \,\mathrm{div}\,b^k) \,\mathrm{mod}\,b.\]
Докажимо и ово формално. Докажимо да важи да је \(x \,\mathrm{div}\,b^k = c_n\cdot b^{n-k} + c_{n-1} \cdot b^{n-k-1} + \ldots + c_{k+1}\cdot b + c_k\). Заиста, важи да је \(x = (c_n\cdot b^{n-k} + c_{n-1} \cdot b^{n-k-1} + \ldots + c_{k+1}\cdot b + c_k)\cdot b^k + c_{k-1}b^{k-1} + \ldots + c_1b + c_0\). Пошто за сваку цифру \(c_i\) важи \(0 \leq c_i \leq b-1\), важи да је \(c_{k-1}b^{k-1} + \ldots + c_1b + c_0 \leq (b-1) \cdot (b^{k-1} + \ldots + b + 1) = b^k - 1\). Зато је \(x \,\mathrm{mod}\,b^k = c_{k-1}b^{k-1} + \ldots + c_1b + c_0\), док је \(x \,\mathrm{div}\,b^k = c_n\cdot b^{n-k} + c_{n-1} \cdot b^{n-k-1} + \ldots + c_{k+1}\cdot b + c_k\). Зато се до цифре \(c_k\) може доћи одређивањем остатка при дељењу овог броја са \(b\) (сви сабирци осим последњег су дељиви са \(b\), док је \(0 \leq c_k < b\)).